Question

已知動圓過定點（1,0），且與直線相切.
（1）求動圓圓心的軌跡方程；
（2）設是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和,①當時，求證直線恒過一定點；
②若為定值，直線是否仍恒過一定點，若存在，試求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）①參考解析，②

試題分析：（1）根據題意可假設拋物線方程為，由拋物線的定義可求得的值，從而可求得拋物線的方程.
（2）根據題意假設直線AB的方程，聯立拋物線的方程，消去y得到一個關于x的一元二次方程，由韋達定理得到A,B兩點坐標的等式.①由直線的垂直可得到A,B坐標的一個等式，從而可化簡直線AB的方程即可得到結論.②當為一個一般的定值時，需要分類討論，解決問題的方法類似于①小題，同樣是通過A,B的斜率關系得到一個等式，從而得到結論.
試題解析：(1)設動圓圓心M(x,y),
依題意點M的軌跡是以(1,0)為焦點,直線x=－1為準線的拋物線其方程為.
(2)設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).由題意得x₁≠x₂(否則)且x₁x₂≠0,則
所以直線AB的斜率存在,設直線AB的方程為y=kx+b,
則將y=kx+b與y²=4x聯立消去x,得ky²－4y+4b=0
由韋達定理得-------※
①當=時,所以,所以y₁y₂=16,又由※知:y₁y₂=所以b=4k;因此直線AB的方程可表示為y=kx+4k,所以直線AB恒過定點(－4,0).
②當為定值時.若=,由①知,
直線AB恒過定點M(－4,0)當時,由,得==
將※式代入上式整理化簡可得:,所以,此時,直線AB的方程可表示為y=kx+,所以直線AB恒過定點所以當時,直線AB恒過定點(－4,0).,
當時直線AB恒過定點