Question

如圖，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，且△ABC為正三角形，AA₁=AB=6，D為AC的中點．
（1）求證：直線AB₁∥平面BC₁D；
（2）求證：平面BC₁D⊥平面ACC₁A；
（3）求三棱錐C﹣BC₁D的體積．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

解析試題分析：
解題思路：（1）構造三角形的中位線，得出線線平行，再利用線面平行的判定定理進行證明；（2）利用線面垂直的性質及等邊三角形的三線合一得出線線垂直，進而利用面面垂直的判定定理進行證明；（3）合理轉化三棱錐的頂點求體積.
規(guī)律總結：證明空間中的線線、線面、面面的平行、垂直關系，關鍵合理選擇性質定理或判定定理，進行三者之間的相互轉化，線線關系是關鍵；求幾何體的體積，要合理選擇頂點與底面，以便容易求得高與面積.
試題解析：（1）證明：連接B₁C交BC₁于點O，連接OD，則點O為B₁C的中點．
∵D為AC中點，得DO為△AB₁C中位線，∴A₁B∥OD．

∴直線AB₁∥平面BC₁D；
（2）證明：∵AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥BD，
∵底面ABC正三角形，D是AC的中點
∴BD⊥AC
∵AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
,;
（3）由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，
∴S_△BCD==，
∴V_C﹣BC1D=V_C1﹣BCD=••6=9.

考點：1.空間中的平行與垂直的判定；2.空間幾何體的體積.