Question

已知函數（為常數），函數定義為：對每一個給定的實數，

（1）求證：當滿足條件時，對于,；

（2）設是兩個實數，滿足，且，若，求函數在區間上的單調遞增區間的長度之和.（閉區間的長度定義為）

 

Answer 1

（1）詳見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）由分析可知的解析式就是取中較小的一個。所以等價于，將此不等式轉化成指數函數不等式，根據指數的運算法則，應將除過去用公式，再將不等式左邊的2也化為以3為底的對數，依據的公式是。再根據指數函數的單調性解同底的對數不等式。最后根據絕對值不等式的性質放縮不等式，即可求解。（2）根據（1）中所證已知時，，圖形關于對稱，且在兩側單調性相反。若則為的中點。即可求得函數在區間上的單調遞增區間的長度。當時，當時，當時，當時解圖象交點的橫坐標，根據圖像得的解析式。再根據圖像得增區間，再求增區間的長度。

試題解析：（1）由的定義可知，（對所有實數）等價于（對所有實數）這又等價于，即對所有實數均成立. （*） 由于的最大值為， 故（*）等價于，即，所以當時，

（2）分兩種情形討論

（i）當時，由（1）知（對所有實數）

則由及易知，

再由的單調性可知，

函數在區間上的單調增區間的長度

為（參見示意圖1）

（ii）時，不妨設，則，于是

當時，有，從而；

當時，有

從而 ；

當時，，及，由方程

解得圖象交點的橫坐標為

⑴

顯然，

這表明在與之間。由⑴易知

綜上可知，在區間上， （參見示意圖2）

故由函數及的單調性可知，在區間上的單調增區間的長度之和為，由于，即，得

⑵

故由⑴、⑵得

綜合（i）（ii）可知，在區間上的單調增區間的長度和為。

考點：指數函數單調性，數形結合