Question

已知數列{an}滿足a1＝a(a＞0，a∈N*)，a1＋a2＋…＋an－pan＋1＝0(p≠0，p≠－1，n∈N*)．

(1)求數列{an}的通項公式an；

(2)若對每一個正整數k，若將ak＋1，ak＋2，ak＋3按從小到大的順序排列后，此三項均能構成等差數列，且公差為dk.①求p的值及對應的數列{dk}．

②記Sk為數列{dk}的前k項和，問是否存在a，使得Sk＜30對任意正整數k恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）an＝（2）①p＝－，dk＝9a·2k－1或p＝－，dk＝k－1②a＝13.

【解析】(1)因為a1＋a2＋…＋an－pan＋1＝0，所以n≥2時，a1＋a2＋…＋an－1－pan＝0，兩式相減，得 (n≥2)，故數列{an}從第二項起是公比為的等比數列，又當n＝1時，a1－pa2＝0，解得a2＝，

從而an＝

(2)①由(1)得ak＋1＝k－1，ak＋2＝k，ak＋3＝k＋1，

若ak＋1為等差中項，則2ak＋1＝ak＋2＋ak＋3，

即＝1或＝－2，解得p＝－；

此時ak＋1＝－3a(－2)k－1，ak＋2＝－3a(－2)k，

所以dk＝|ak＋1－ak＋2|＝9a·2k－1，

若ak＋2為等差中項，則2ak＋2＝ak＋1＋ak＋3，即＝1，此時無解；

若ak＋3為等差中項，則2ak＋3＝ak＋1＋ak＋2，即＝1或＝－，

解得p＝－，

此時ak＋1＝－k－1，ak＋3＝－k＋1，所以dk＝|ak＋1－ak＋3|＝k－1，

綜上所述，p＝－，dk＝9a·2k－1或p＝－，dk＝k－1.

②當p＝－時，Sk＝9a(2k－1)．

則由Sk＜30，得a＜，

當k≥3時，＜1，所以必定有a＜1，

所以不存在這樣的最大正整數．

當p＝－時，Sk＝，

則由Sk＜30，得a＜，因為＞，所以a＝13滿足Sk＜30恒成立；但當a＝14時，存在k＝5，使得a＞即Sk＜30，

所以此時滿足題意的最大正整數a＝13