Question

若曲線f（x，y）=0（或y=f（x））在其上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切線，下列方程的曲線存在自公切線的序號為

 

（填上所有正確的序號），①y=x²-|x|；②y=|x²-x|；③y=3sinx+4cosx；④x²-y² ；⑤|x|+1=

4-y2

．

Answer 1

分析：通過畫出函數圖象，觀察其圖象是否滿足在其上兩個不同點處的切線重合，從而確定是否存在自公切線．

解答：解：函數 y=x²-|x|的圖象如下左圖顯然滿足要求；
函數 y=|x²-x|不存在自公切線；
函數y=3sinx+4cosx的一條自公切線為y=5；
x²-y² =1為等軸雙曲線，不存在自公切線．  
而對于方程|x|+1=

4-y2

，其表示的圖形為圖中實線部分，不滿足要求；
  
故答案為：①③

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及新定義自公切線，題目比較新穎，解題的關鍵是理解新的定義，同時考查了數形結合的思想，屬于中檔題．