Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），直線的參數程為（為參數），設直線與的交點為,當變化時點的軌跡為曲線.

（1）求出曲線的普通方程；

（2）以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，點為曲線的動點，求點到直線的距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1）的普通方程為;(2) 的最小值為.

【解析】【試題分析】（1）利用加減消元法，消去參數，可將轉化為普通方程.將兩方程聯立，消去可得的普通方程.（2）先將直線的極坐標方程轉化為直角坐標方程，寫出的參數方程，利用點到直線的距離公式和三角函數輔助角公式，可求得距離的最小值.

【試題解析】

（1）將， 的參數方程轉化為普通方程

，①

，②

①×②消可得： ，

因為，所以，所以的普通方程為.

（2）直線的直角坐標方程為： .

由（1)知曲線與直線無公共點，

由于的參數方程為（為參數， ， ），

所以曲線上的點到直線的距離為

，

所以當時， 的最小值為.