Question

已知函數(shù)

(1)當(dāng)時(shí),如果函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

(2)當(dāng)時(shí),比較與1的大小.

(3)求證:

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）①當(dāng)時(shí)，，即；

②當(dāng)時(shí)，，即；

③當(dāng)時(shí)，，即

（3）利用（2）的結(jié)論或數(shù)學(xué)歸納法證明

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域是，     1分

，

令，得或．       2分

當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．     4分

的極大值是，極小值是．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，或．

∴的取值范圍是       5分

（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013062311094679661624/SYS201306231110290153409363_DA.files/image013.png">．

令，

，

在上是增函數(shù)．        7分

∵

∴①當(dāng)時(shí)，，即；

②當(dāng)時(shí)，，即；

③當(dāng)時(shí)，，即．     9分

（3）（法一）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．

令，則有，  

．     12分

，．      14分

(法二)①當(dāng)時(shí)，．

，，即時(shí)命題成立．      10分

②假設(shè)時(shí)，命題成立，即．

則當(dāng)時(shí)，

．

根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．

令，則有，

則有，即時(shí)命題也成立．   13分

因此，由①②知不等式成立．         14分

考點(diǎn)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍和利用導(dǎo)數(shù)或數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，要靈活運(yùn)用解決問題，利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)要注意放縮不等式的應(yīng)用.