Question

【題目】已知⊙： 與⊙： ，以， 分別為左右焦點(diǎn)的橢圓： 經(jīng)過(guò)兩圓的交點(diǎn)。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）、是橢圓上的兩點(diǎn)，若直線與的斜率之積為，試問(wèn)的面積是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）的面積為定值3.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)兩圓的交點(diǎn)為，依題意有解得，進(jìn)而得；

（Ⅱ）討論斜率不存在和斜率存在時(shí)兩種情況，設(shè)直線的方程為， ， ，直線與橢圓聯(lián)立得， ，由，得，表示面積即可得定值.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)兩圓的交點(diǎn)為，依題意有，

由橢圓定義知，解得；

因?yàn)?/span>， 分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，所以，解得，

所以求橢圓的方程為；

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)

又

設(shè)直線的方程為， ， ，

由，得，

由，得 （*）

且， ，

∴

∵，∴，

整理得，

代入（*）得，

∵

原點(diǎn)到直線的距離

∴（定值）。