Question

【題目】橢圓 =1（a＞b＞0）的離心率為 ，右焦點到直線x+y+ =0的距離為2 ． （Ⅰ） 求橢圓的方程；
（Ⅱ） 過點M（0，﹣1）作直線l交橢圓于A，B兩點，交x軸于N點，滿足 =﹣ ，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓的離心率為 ，右焦點到直線x+y+ =0的距離為2 ， ∴
∴c= ，a=2 ，
∴b= ，
∴橢圓的方程為 ；
（Ⅱ）設A （x1 ， y1），B（x2 ， y2），N（x0 ， 0）
∵ =﹣ ，
∴（x1﹣x0 ， y1）=﹣ （x2﹣x0 ， y2）
∴y1=﹣ y2①
易知直線斜率不存在時或斜率為0時①不成立
于是設直線l的方程為y=kx﹣1（k≠0）．
與橢圓方程聯立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0②
∴y1+y2=﹣ ③y1y2= ④
由①③可得y2= ，y1=﹣ 代入④整理可得：8k4+k2﹣9=0
∴k2=1
此時②為5y2+2y﹣7=0，判別式大于0
∴直線l的方程為y=±x﹣1
【解析】（Ⅰ）根據圓的離心率為 ，右焦點到直線x+y+ =0的距離為2 ，建立方程組，可求橢圓的方程；（Ⅱ）設A （x1 ， y1），B（x2 ， y2），N（x0 ， 0），利用 =﹣ ，可得（x1﹣x0 ， y1）=﹣ （x2﹣x0 ， y2），設直線l的方程為y=kx﹣1（k≠0），與橢圓方程聯立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0，由此即可求得直線l的方程．