Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值；

（2）在（1）的結(jié)論下，若關(guān)于的不等式，當時恒成立，求的值；

（3）令，若關(guān)于的方程在內(nèi)至少有兩個解，求出實數(shù)的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1) ;(2);(3) 實數(shù)的范圍是.

【解析】分析：（1）根據(jù)求得；（2）由題意結(jié)合分離參數(shù)可得對恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)可得，故得,又，所以得到．

（3）由題意，令，構(gòu)造函數(shù)，則由題意得可得方程在區(qū)間上只少有兩個解．然后分類討論可得實數(shù)的范圍是．

詳解：（1）∵，

∴，

又函數(shù)在處取得極值，

∴，解得．

經(jīng)驗證知滿足條件，

∴．

（2）當時，，

∴．

由題意得對恒成立，

∴對恒成立．

令，，

則，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，

∴,

又，

∴．

（3）由題意得，

令，設(shè)

則方程在區(qū)間上只少有兩個解，

又，

∴方程在區(qū)間上有解，

由于，

①當時，，函數(shù)在上是增函數(shù)，且，

∴方程在區(qū)間上無解；

②當時，，同①可得方程無解；

③當時，函數(shù)在上遞增，在上遞減，且，

要使方程在區(qū)間上有解，則，即，

∴；

④當時，函數(shù)在上遞增，在上遞減，且，

此時方程在內(nèi)必有解；

⑤當時，函數(shù)在上遞增，在上遞減，且，

∴方程在區(qū)間內(nèi)無解．

綜上可得實數(shù)的范圍是.