Question

已知函數f(x)=msinx+cosx(m>0)的最大值為2.
(1)求函數f(x)在［0,π］上的單調遞減區間；(2)△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a,b,c, 且C=60°，c=3，求△ABC的面積.

Answer 1

(1); (2).

試題分析：(1)根據輔助角公式，函數的最大值為令其為2，即可求得m，利用正弦函數的單調性可求得此函數的遞減區間，找到［0,π］上的單調遞減區間即可；（2）本小題關鍵是求得邊a與b的乘積，利用正弦定理，把化為邊a與b的關系，另一方面已知C=60°，c=3，由余弦定理，可得邊a與b的另一關系，兩式聯立解得ab（當然也可解得a與b的單個值，但計算量大），利用可求得面積.
試題解析：(1)由題意，f(x)的最大值為所以而m>0，于是m=，f(x)=2sin(x+).由正弦函數的單調性及周期性可得x滿足即所以f(x)在［0,π］上的單調遞減區間為
(2)設△ABC的外接圓半徑為R，由題意，得化簡得sin A+sin B=2sin Asin B.由正弦定理，得① 由余弦定理，得a²+b²-ab=9，即(a+b)²-3ab-9="0." ②
將①式代入②，得2(ab)²-3ab-9=0，解得ab=3或 (舍去)，故.