Question

【題目】如圖，在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)．

（1）求異面直線與所成角的余弦值；

（2）棱上是否存在點(diǎn)，使得∥平面？請證明你的結(jié)論；

（3）求直線與平面所成角的余弦值；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可得到結(jié)論.

（2）根據(jù)題意，利用空間向量計(jì)算，即可得在上存在點(diǎn)，使得平面

（3）利用空間向量計(jì)算得直線與平面所成角的正弦值，進(jìn)而可得余弦值.

由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的邊長為，則，，，，，

（1）由題意，，，

所以，異面直線與所成角的余弦值，

故異面直線與所成角的余弦值為.

（2）在上存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí)有.證明如下：

假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，使得平面，設(shè)，則，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由，即，取，解得，，

∴平面的一個(gè)法向量為，

由題意，得，即，即，

所以，在上存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí)有.

（3）直線與平面所成角的正弦值：，

所以，直線與平面所成角的余弦值.