Question

已知函數f(x)=(a-

1

2

)x2+lnx．（a∈R）
（1）當a=1時，求f（x）在區間[1，e]上的最大值和最小值；
（2）若在區間（1，+∞）上，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導函數判斷出其大于零得到函數在區間[1，e]上為增函數，所以f（1）為最小值，f（e）為最大值，求出即可；（2）令g(x)=f(x)-2ax=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx，則g（x）的定義域為（0，+∞）．證g（x）＜0在區間（1，+∞）上恒成立即得證．求出g′（x）分區間討論函數的增減性得到函數的極值，利用極值求出a的范圍即可．

解答：解（Ⅰ）當a=1時，f(x)=

1

2

x2+lnx，f′(x)=x+

1

x

=

x2+1

x

．
對于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在區間[1，e]上為增函數．
∴fmax(x)=f(e)=1+

e2

2

，fmin(x)=f( 1 )=

1

2

（Ⅱ）令g(x)=f(x)-2ax=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx，則g（x）的定義域為（0，+∞）．
在區間（1，+∞）上，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方等價于g（x）＜0在區間（1，+∞）上恒成立．
∵g′(x)=(2a-1)x-2a+

1

x

=

(2a-1)x2-2ax+1

x

=

(x-1)[(2a-1)x-1]

x

．
①若a＞

1

2

，令g'（x）=0，得極值點x₁=1，x2=

1

2a-1

．
當x₂＞x₁=1，即

1

2

＜a＜1時，在（x₂，+∞）上有g'（x）＞0．
此時g（x）在區間（x₂，+∞）上是增函數，并且在該區間上有g（x）∈（g（x₂），+∞），不合題意；
當x₂＜x₁=1，即a≥1時，同理可知，g（x）在區間（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合題意；
②若a≤

1

2

，則有2a-1≤0，此時在區間（1，+∞）上恒有g'（x）＜0．
從而g（x）在區間（1，+∞）上是減函數
要使g（x）＜0在此區間上恒成立，只須滿足g(1)=-a-

1

2

≤0?a≥-

1

2

．
由此求得a的范圍是[-

1

2

，

1

2

]．
綜合①②可知，當a∈[-

1

2

，

1

2

]時，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方．

點評：考查學生利用導數求函數在閉區間上的最值的能力．以及綜合運用函數解決數學問題的能力．