Question

如圖，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中， ，直線B₁C與平面ABC成45°角。

(1)求證：平面A₁B₁C⊥平面B₁BCC₁；
(2)求二面角A—B₁C—B的余弦值.

Answer 1

（1）參考解析；（2）

試題分析：(1)要證明平面⊥平面，從圖形中確定證明垂直于平面.從而要在平面中找到兩條相交直線與垂直.顯然.通過計算可得直線.所以可得直線與平面垂直.
（2）要求二面角A—B₁C—B的余弦值，要找的這二面角的平面角.通過計算可得是等邊三角形，并且是等腰直角三角形.所以只要取的中點O.即可得角AOB為所求的二面角的平面角.應用余弦定理即可求得.
試題解析：(1)證：∵BB₁⊥面ABC
∴B₁C與面ABC所成的角為∠B₁CB
∴∠B₁CB=45⁰
∵BB₁=1
∴BC=1
又∵BA=1,AC=
∴AB²+BC²=AC²
∴AB⊥BC
∵BB₁⊥AB
BB₁∩BC=B
∴AB⊥面B₁BCC₁
∵A₁B₁//AB
∴A₁B₁⊥面B₁BCC_1.∵A₁B₁面A₁B₁C
∴面A₁B₁C⊥面B₁BCC₁
（2）因為直角三角形中，.所以.所以為等邊三角形.又因為為等腰三角形.所以取得中點O，連結AO,BO，則所以為二面角A--B的平面角.因為直角三角形中. .在等邊三角形中. .所以在三角形中.