Question

如圖所示的平面直角坐標系xoy中，已知直線l與半徑為1的⊙D相切于點C，動點P到直線l的距離為d，若d=

2

|PD|．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）直線l過Q（0，2）且與軌跡P交于M、N兩點，若以MN為直徑的圓過原點O，求出直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由d=

2

|PD|，知

|PD|

d

=

2

2

∈(0，1)，故點P的軌跡是以D為焦點，l為相應準線的橢圓，由e=

c

a

=

2

2

，

a2

c

-c=1，能求出點P的軌跡方程．
（2）依題意，設直線l為：y=kx+2，（k≠0，且k存在）由

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+8kx+6=0，由直線l與軌跡P交于M、N兩點，知k＞

6

2

，或k＜-

6

2

，且M、N的橫坐標x_M，x_N就是（1+2k²）x²+8kx+6=0，的兩個解，于是有：xM+xN=

6

1+2k2

，xM•xN=-

8k

1+2k2

，由此能求出直線l的方程．

解答：解：（1）∵d=

2

|PD|，∴

|PD|

d

=

2

2

∈(0，1)，
∴點P的軌跡是以D為焦點，l為相應準線的橢圓，
由e=

c

a

=

2

2

，又

a2

c

-c=1，
解得a=

2

，c=1，于是b=1，
以CD所在直線為x軸，以CD與圓D的另一個交點O為坐標原點建立直角坐標系，
∴所求點P的軌跡方程為

x2

2

+y2=1．
（2）依題意，設直線l為：y=kx+2，（k≠0，且k存在）
由

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+8kx+6=0，
∵直線l與軌跡P交于M、N兩點，
∴△=64k²-24（1+2k²）＞0，
即2k²-3＞0，∴k＞

6

2

，或k＜-

6

2

，
且M、N的橫坐標x_M，x_N就是（1+2k²）x²+8kx+6=0，的兩個解，
于是有：xM+xN=

6

1+2k2

，xM•xN=-

8k

1+2k2

又∵MN為直徑的圓過原點在橢圓上，
∴

OM

•

ON

=0，
即x_M•x_N+y_M•y_N=0，
即：x_M•x_N+（kx_M+2）（1+2kx_N）=0
∴

6(1+k2)

1+2k2

-

18k2

1+2k2

+4=0，解得：k=±

5

∴直線l方程為

5

x+y-2=0或

5

x-y+2=0…（14分）

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線方程的求法，考查運算求解能力和等價轉化能力．綜合性強，難度大，是高考的重點．