Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經過（1，1）與（，）兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過原點的直線l與橢圓C交于A、B兩點，橢圓C上一點M滿足|MA|=|MB|．求證：++為定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）把（1，1）與（，）兩點代入橢圓方程解出即可．
（II）由|MA|=|MB|，知M在線段AB的垂直平分線上，由橢圓的對稱性知A、B關于原點對稱．
①若點A、B是橢圓的短軸頂點，則點M是橢圓的一個長軸頂點；同理，若點A、B是橢圓的長軸頂點，則點M在橢圓的一個短軸頂點；直接代入計算即可．
②若點A、B、M不是橢圓的頂點，設直線l的方程為y=kx（k≠0），則直線OM的方程為，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與橢圓的方程聯立解出坐標，即可得到=，同理，代入要求的式子即可．
解答：解析（Ⅰ）將（1，1）與（，）兩點代入橢圓C的方程，
得解得．
∴橢圓PM₂的方程為．
（Ⅱ）由|MA|=|MB|，知M在線段AB的垂直平分線上，由橢圓的對稱性知A、B關于原點對稱．
①若點A、B是橢圓的短軸頂點，則點M是橢圓的一個長軸頂點，此時
=．
同理，若點A、B是橢圓的長軸頂點，則點M在橢圓的一個短軸頂點，此時
=．
②若點A、B、M不是橢圓的頂點，設直線l的方程為y=kx（k≠0），
則直線OM的方程為，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由解得，，
∴=，同理，
所以=2×+=2，
故=2為定值．
點評：本小題主要考查橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查方程思想、化歸與轉化思想、數形結合思想等