Question

【題目】若對(duì)于定義在上的函數(shù)，其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，則稱是一個(gè)“特征函數(shù)”．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（　　）

①是常數(shù)函數(shù)中唯一的“特征函數(shù)”；

②不是“特征函數(shù)”；

③“特征函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)；

④是一個(gè)“特征函數(shù)”．

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用新定義“特征函數(shù)”，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行判定，即可求解，得到答案．

對(duì)于①中，設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是一個(gè)“特征函數(shù)”，

所以不是唯一的一個(gè)常值的“特征函數(shù)”，所以①不正確；

對(duì)于②中，函數(shù)，

則，即，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，方程由唯一的解，

所以不存在常數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，

所以函數(shù)不是“特征函數(shù)”，所以②正確．

對(duì)于③中，令，可得，所以，

若，顯然有實(shí)數(shù)根，若，，

又因?yàn)?/span>的函數(shù)圖象是連續(xù)的，所以在上必由實(shí)數(shù)根，

因此任意的“特征函數(shù)”必有實(shí)根，即任意“特征函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)，

所以③是正確；

對(duì)于④中，假設(shè)是一個(gè)“特征函數(shù)”，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)成立，

則有，而此式有解，所以是“特征函數(shù)”，所以④正確的，

所以正確命題共有②③④．

故選：C．