Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1,na_n+1=(n+2)S_n (n∈N^*).
(1)求證：數列為等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式及前n項和S_n；
（3）若數列{b_n}滿足：b₁=,=(n∈N^*),求數列{b_n}的通項公式.

Answer 1

（1）證明見解析（2）a_n=(n+1)2^n-2(n∈N^*)（3） b_n=(2ⁿ-1) (n∈N^*)

（1）證明 將a_n+1=S_n+1-S_n代入已知na_n+1=(n+2)S_n;
整理得=2×(n∈N^*).
又由已知=1,
所以數列是首項為1，公比為2的等比數列.
（2）解 由（1）的結論可得=2^n-1,∴S_n=n·2^n-1，
當n≥2時，
a_n=S_n-S_n-1=n·2^n-1-（n-1）·2^n-2=2^n-2（n+1）.
由已知，a₁=1,又當n=1時，2^n-2(n+1)=1,
∴a_n=(n+1)2^n-2(n∈N^*).
(3)解 由=(n∈N^*),得=+2^n-1,
由此式可得=+2^n-2,
=+2^n-3,
…
=+2^3-2,
=+2^2-2.
把以上各等式相加得，
=2^n-2+2^n-3+…+2^3-2+2^2-2+b₁.
∵b₁=,∴=+,
∴b_n=(2ⁿ-1) (n∈N^*).