Question

圓O₁和圓O₂的極坐標方程分別為ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ．
（1）把圓O₁和圓O₂的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）求經過圓O₁，圓O₂交點的直線的直角坐標方程．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函數的差角公式展開曲線C的極坐標方程的左式，再利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得．
（2）先在直角坐標系中算出經過兩圓交點的直線方程，再利用直角坐標與極坐標間的關系求出其極坐標方程即可．

解答：解：以有點為原點，極軸為x軸正半軸，
建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．
（1）x=ρcosθ，y=ρsinθ，由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ．
所以x²+y²=4x．
即x²+y²-4x=0為圓O₁的直角坐標方程．…．（3分）
同理x²+y²+4y=0為圓O₂的直角坐標方程．…．（6分）
（2）由

x2+y2-4x=0 x2+y2+4y=0

解得

x1=0 y1=0

x2=2 y2=-2

．
即圓O₁，圓O₂交于點（0，0）和（2，-2）．
過交點的直線的直角坐標方程為y=-x．…（10分）

點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區別，能進行極坐標和直角坐標的互化．