Question

已知函數為自然對數的底數）．
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）若是的一個極值點，且點，滿足條件：.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若點是三個不同的點， 判斷三點是否可以構成直角三
角形？請說明理由。

Answer 1

（1）；（2）；點，，可構成直角三角形.

解析試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數求曲線的切線方程、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的最值和極值、向量垂直的充要條件等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，對求導，將切點的橫坐標1代入到中得到切線的斜率，代入到中得到切點的縱坐標，從而利用點斜式得到切線方程；第二問，先求函數的定義域，令，得到方程的根，將定義域斷開，判斷函數的單調性，從而求出函數極值；第三問，先排除幾個特例情況，在一般情況中，要證明三角形為直角三角形，只需判斷2邊垂直，用向量垂直的充要條件證明即可.
試題解析：（1）， ，又，所以曲線在處的切線方程為，即．
（2）（ⅰ）對于，定義域為．
當時，，，∴；
當時，；當時，，，∴
所以存在唯一的極值點，∴，則點為
（ⅱ）若，則，與條件不符，
從而得．同理可得．
若，則，與條件不符，從而得．
由上可得點，，兩兩不重合．


從而，點，，可構成直角三角形．
考點：導數的運算、利用導數求曲線的切線方程、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的最值和極值、向量垂直的充要條件.