Question

【題目】如圖，在邊長為4的菱形中，，現沿對角線把折起，折起后使的余弦值為

（1）求證：平面平面；

（2）若是的中點，求三棱錐的體積

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) .

【解析】試題分析:(1) 菱形翻折后變成三棱錐，在中，由余弦定理求出,由勾股定理判斷出，又，，由線面垂直的判定定理可得⊥平面,再由面面垂直的判定定理證明命題成立;(2) 因為是的中點，所以到平面的距離相等，由等體積法計算出三棱錐的體積.

試題解析:

（Ⅰ）證明：在菱形中，記的交點為，，∴，，翻折后變成三棱錐，在中，，

所以在中，，所以，

又，，∴⊥平面，又平面，

∴平面⊥平面．

（Ⅱ）解：因為是的中點，所以到平面的距離相等，

．

點睛:本題考查線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理以及錐體的體積公式. 判定直線和平面垂直的方法:①定義法．②利用判定定理：一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線和此平面垂直．③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．