Question

如圖所示，四棱錐P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點。

(1)求證：BM∥平面PAD；
(2)在側面PAD內找一點N，使MN平面PBD；
(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦。

Answer 1

（1）詳見解析，（2）詳見解析，（3）

試題分析：（1）證明線面平行，往往從線線平行出發. 因為是的中點，所以取PD的中點，則ME為三角形PCD的中位線，根據中位線的性質，有，又，所以四邊形為平行四邊形，因此∥，（2）存在性問題，往往從假定出發，現設N點位置，這提示要利用空間向量設點的坐標，空間向量解決線面垂直問題的關鍵在于表示出平面的法向量，也可利用線面垂直的性質，即垂直平面中兩條相交直線，由及解得，是的中點（3）求線面角，關鍵在于作出平面的垂線，此時可利用（2）的結論，即MN為平面的垂線；另外也可繼續利用空間向量求線面角，即直線與平面所成角的正弦值為余弦值的絕對值.
試題解析：解（1）是的中點，取PD的中點，則
，又
四邊形為平行四邊形
∥，平面,平面
∥平面                  ..（4分）
（2）以為原點，以、、 所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，
在平面內設，，， 由       
由       
是的中點，此時平面        （8分）
（3）設直線與平面所成的角為
，，設為
   
故直線與平面所成角的正弦為        （12分）