Question

（2009•黃浦區一模）如圖所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為a的正方體，M是棱A₁B₁的中點，N是棱A₁D₁的中點．
（1）求異面直線AN與BM所成角的正弦值；
（2）求三棱錐M-DBB₁的體積．

Answer 1

分析：（1）記棱B₁C₁的中點為G，連接BG、GM、GN，GM與B₁D₁的交點為H，連接BH，由正方體的幾何特征，結合異面直線夾角的定義可得，∠MBG是異面直線AN與BM所成的角，利用余弦定理，可得異面直線AN與BM所成角的正弦值；
（2）由已知中B₁H是等腰三角形MB₁G的頂角平分線，結合等腰三角形三線合一的性質，可得BH⊥MH，再由BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，可得BB₁⊥MH，結合線面垂直的判定定理，可得MH⊥平面DBB₁D₁，即MH為三棱錐M-DBB₁的高，計算出棱錐的底面積和高后，即可得到三棱錐M-DBB₁的體積．

解答：解：（1）記棱B₁C₁的中點為G，連接BG、GM、GN，GM與B₁D₁的交點為H，連接BH，如圖所示．…（1分）
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，G、N是中點，
∴GN

|| .

.

A1B1

|| .

.

AB，即ABGN為平行四邊形．
∴BG||AN，∠MBG是異面直線AN與BM所成的角．…（3分）
又正方體的棱長為a，可得BM=BG=

5

2

a，MG=

2

2

a．
∴cos∠MBG=

( 5 2 a)2+( 5 2 a)2-( 2 2 a)2

2 5 2 a• 5 2 a

=

4

5

． …（6分）
∴sin∠MBG=

3

5

．…（7分）
（2）∵B₁H是等腰三角形MB₁G的頂角平分線，
∴H是GM的中點，且BH⊥MH（BH是等腰三角形MBG底邊上的中線）．…（9分）
∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，MH?平面A₁B₁C₁D₁，
∴BB₁⊥MH．
∴MH⊥平面DBB₁D₁，即MH為三棱錐M-DBB₁的高．…（12分）
∴VM-DBB1=

1

3

•

1

2

•DB•BB1•MH
=

1

6

•

2

a•a•

2

4

a
=

1

12

a3（體積單位）．  …（14分）

點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，棱錐的體積，其中（1）的關鍵是構造出∠MBG是異面直線AN與BM所成的角，（2）的關鍵是證得MH為三棱錐M-DBB₁的高．