Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n＞0，S_n是數列{a_n}的前n項和，對任意n∈N^*，有2S_n=2a_n²+a_n-1
（1）計算a₂，a₃的值，并求數列{a_n}的通項公式
（2）求滿足S_m≤27的m的最大值
（3）記b_n=a_na_n-1+2（n∈N*），求證：

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜4．

Answer 1

分析：（1）由2S_n=2a_n²+a_n-1，及a₁=1，a_n＞0，分別令n=2，3即可得出a₂，a₃．當n≥2時，由2S_n=2a_n²+a_n-1，2Sn-1=2

a

2 n-1

+an-1-1，兩式相減即可得出(an+an-1)(an-an-1-

1

2

)=0．利用a_n＞0，可得an-an-1=

1

2

．利用等差數列的通項公式即可得出a_n．
（2）利用（1）和等差數列的前n項和公式即可得出S_n，由S_m≤27，利用一元二次不等式的解法即可得出m的最大值．
（3）由b_n=a_na_n-1+2（n∈N^*），可得b_n=

n2+n+8

4

．放縮并裂項得

1

bn

=

4

n2+n+8

＜

4

n(n+1)

=4(

1

n

-

1

n+1

)．利用“裂項求和”即可得出即可證明結論．

解答：解：（1）由2S_n=2a_n²+a_n-1，令n=2，
則2(a1+a2)=2

a

2 2

+a2-1，化為2

a

2 2

-a2-3=0，又a₂＞0，解得a2=

3

2

．
令n=3，則2（a₁+a₂+a₃）=2

a

2 3

+a3-1，化為2

a

2 3

-a3-6=0，解得a₃=2．
當n≥2時，由2S_n=2a_n²+a_n-1，2Sn-1=2

a

2 n-1

+an-1-1，
兩式相減得2an=2

a

2 n

+an-2

a

2 n-1

-an-1，化為(an+an-1)(an-an-1-

1

2

)=0．
∵a_n＞0，∴an-an-1=

1

2

．
∴數列{a_n}是以a₁=1為首項，

1

2

為公差的等差數列．
∴an=1+(n-1)×

1

2

=

n+1

2

．
（2）由（1）可得：Sm=

m(1+ m+1 2 )

2

=

m(m+3)

4

，由

m(m+3)

4

≤27，化為m²+3m-108≤0，m∈N^*，解得0＜m≤9，
因此滿足S_m≤27的m的最大值是9．
（3）證明：b_n=a_na_n-1+2=

(n+1)

2

•

n

2

+2=

n2+n+8

4

．
∴

1

bn

=

4

n2+n+8

＜

4

n(n+1)

=4(

1

n

-

1

n+1

)．
∴

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜4[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=4(1-

1

n+1

)＜4．
故不等式成立．

點評：本題考查了數列a_n與其前n項和S_n的關系、等差數列的通項公式及其前n項和公式、一元二次不等式的解法、放縮法、“裂項求和”等基礎知識與基本方法，屬于難題．