Question

（1）用綜合法證明：a²+b²+c²≥ab+bc+ca，（a，b，c∈R₊）；
（2）用分析法證明：若a，b，m∈R₊，且b＜a，則

b

a

＜

b+m

a+m

．

Answer 1

分析：（1）由于已知 a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，相加后兩邊同時除以2，即得所證．
（2）尋找使

b

a

＜

b+m

a+m

成立的充分條件，直到使不等式成立的條件顯然具備為止．

解答：（1）證明：∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
相加可得 2（a²+b²+c²）≥2（ab+bc+ca），
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca，（當且僅當a=b=c時，取等號）．
（2）證明：∵a，b，m∈R₊，且b＜a，要證

b

a

＜

b+m

a+m

，只要證 b（a+m）＜a（b+m），
只要證bm＜am，即證 b＜a．
而b＜a為已知條件，故要證的不等式成立．

點評：本題主要考查用綜合法和分析法證明不等式，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．