Question

（本小題滿分14分）

已知函數對于任意（），都有式子成立（其中為常數）．

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）利用函數構造一個數列，方法如下：

對于給定的定義域中的，令，，…，，…

在上述構造過程中，如果（=1，2，3，…）在定義域中，那么構造數列的過程繼續下去；如果不在定義域中，那么構造數列的過程就停止.

（ⅰ）如果可以用上述方法構造出一個常數列，求的取值范圍；

（ⅱ）是否存在一個實數，使得取定義域中的任一值作為，都可用上述方法構造出一個無窮數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（ⅲ）當時，若，求數列的通項公式．

Answer 1

解析:

解：（Ⅰ）令（），則，而，

故=，

        ∴ =（）．         ………………………………3分

（Ⅱ）（ⅰ）根據題意，只需當時，方程有解，    ………………4分

亦即方程  有不等于的解．

        將代入方程左邊，左邊為1，與右邊不相等．故方程不可能有解．

………………5分

        由 △=，得 或，

即實數a的取值范圍是．       …………………………7分

（ⅱ）假設存在一個實數，使得取定義域中的任一值作為x₁，都可以用上述方法構造出一個無窮數列，那么根據題意可知，=在R中無解，

……………8分

亦即當時，方程無實數解．

由于不是方程的解，

所以對于任意x∈R，方程無實數解，

因此解得．

∴ 即為所求的值．         ……………………………………11分

    （ⅲ）當時，，所以，．

兩邊取倒數，得，即．

所以數列{}是首項為，公差的等差數列．

故，所以，，

即數列的通項公式為． ……………………………………14分