Question

(本小題滿分12分) 已知圓過兩點,且圓心在上．
(1)求圓的方程；
(2)設是直線上的動點，是圓的兩條切線，為切點，求四邊形面積的最小值．

Answer 1

(1) (x－1)²＋(y－1)²＝4. (2) S＝2＝2＝2.

試題分析：（1）根據題意，設出圓心（a,b），然后圓過兩點,其中垂線必定過圓心，且圓心在上．聯立直線的方程組得到交點坐標即為圓心坐標，進而兩點距離公式求解半徑，得到圓的方程。
（2）因為四邊形PAMB的面積S＝S_△PAM＋S_△PBM=|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，根據兩個三三角形的底相同，高相等，那么即可知S＝2|PA|，只需要求解切線長|PA|的最小值即可。
解：(1)設圓的方程為：(x－a)²＋(y－b)²＝r²(r>0)．
根據題意，得          ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分
解得a＝b＝1，r＝2，                           ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分
故所求圓M的方程為(x－1)²＋(y－1)²＝4.          ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分
(2)因為四邊形PAMB的面積S＝S_△PAM＋S_△PBM＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|， 所以S＝2|PA|，     ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分而|PA|＝＝，  即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直線3x＋4y＋8＝0上找一點P，使得|PM|的值最小，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍9分
所以|PM|_min＝＝3，                  ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍10分
所以四邊形PAMB面積的最小值為S＝2＝2＝2. ﹍﹍﹍12分
點評：結合該試題的關鍵是理解圓心和半徑是求解圓的方程核心，同時直線與圓相切時，構成的四邊形的面積問題，能否轉化為一條切線和一個半徑以及一個圓心到圓外一點P的三角形的面積的最值,最終化簡為只需要求解切線長|PA|的最小值即可。。