Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知BC=1，BB1=2，∠BCC1=90°，AB⊥側(cè)面BB1CC1 ．

（1）求直線C1B與底面ABC所成角的正弦值；
（2）在棱CC1（不包含端點(diǎn)C，C1）上確定一點(diǎn)E的位置，使得EA⊥EB1（要求說(shuō)明理由）．
（3）在（2）的條件下，若AB= ，求二面角A﹣EB1﹣A1的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則B（0，0，0），C1（1，2，0），B1（0，2，0）

直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，

平面ABC的法向量 ，又 ，

設(shè)BC1與平面ABC所成角為θ

，則

（2）解：設(shè)E（1，y，0），A（0，0，z），則 ，

∵EA⊥EB1，

∴

∴y=1，即E（1，1，0）所以E為CC1的中點(diǎn)

（3）解：∵A（0，0， ），則 ，

設(shè)平面AEB1的法向量m=（x1，y1，z1），

則 ∴ ，

取m=（1，1， ），

∵ ，

∴BE⊥B1E，又BE⊥A1B1∴BE⊥平面A1B1E，

∴平面A1B1E的法向量 ，

∴cos＜m， ＞= ，

∴二面角A﹣EB1﹣A1為45°．

【解析】（1）求出平面的法向量與直線所在的向量，利用向量的有關(guān)運(yùn)算求出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線面角即可．（2）根據(jù)點(diǎn)的特殊位置設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)為E（1，y，0），再利用向量的基本運(yùn)算證明兩個(gè)向量垂直即可證明兩條直線相互垂直．（3）結(jié)合題意求出兩個(gè)平面的法向量求出兩個(gè)法向量的夾角，再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的二面角即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的用空間向量求直線與平面的夾角，需要了解設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，　則為的余角或的補(bǔ)角的余角.即有：才能得出正確答案．