Question

設M是含有n個正整數的集合，如果M中沒有一個元素是M中另外兩個不同元素之和，則稱集合M是n級好集合，
（Ⅰ）判斷集合{1，3，4，7，9}是否是5級好集合，并寫出另外一個5級好集合，滿足其最大元素不超過9；
（Ⅱ）給定正整數a，設集合M={a，a+1，a+2，…a+k}是好集合，其中k為正整數，試求k的最大值，并說明理由；
（Ⅲ）對于任意n級好集合M，求集合M中最大元素的最小值（用n表示）．

Answer 1

（I）∵1+3=4∈M，∴M不是5級好集合．
集合{1，3，5，7，9}是5級好集合．
（II）若a=1，則只能是M={1，2}；
若a=2，則只能是{2，3，4}；
若a=3，則只能是{3，4，5，6}；…；
以此類推，只能是M={a，a+1，…，2a}，因此k的最大值為2a-a=a．
（III）對于任意n級好集合M，集合M最大元素的最小值為2n-2．
若最大元素為2n-3，將{1，2，…，2n-3}分為：
t=（2n-3），
t₁=（1，2n-4），
t₂=（2，2n-5），
…
t_n-2=（n-2，n-1）．
則顯然t₁～t_n-2這n-2組中每一組至多選擇一個數，
故此時M中的運算個數至多為n-2+1=n-1＜n，故當最大元素為2n-3時，不能取得M．
同理可證最大元素＜2n-3時不滿足題設條件．
當最大元素為2n-2時，取M={n-1，n，n+1，n+2，…，2n-2}．則此集合對任意n滿足題意．
綜上可知：對于任意n級好集合M，求集合M中最大元素的最小值為2n-2．