Question

（附加題）
（1）設集合A={1，2，3，…，10}，求集合A的所有非空子集元素和的和．
（2）在區間[2，3]上，方程log₂log₃x=log₃log₂x的實根的個數共有________ 個．

Answer 1

解：（1）由10個元素組成的集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，的子集有：
∅，{1}，{2}，{3}，{4}…{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，…共2¹⁰個．
先計算出包含元素1的集合：剩下的9個元素組成的集合含有2⁹個子集，包括空集
而以上2⁹個子集和元素1組合（含空集），又構成了集合M的所有非空子集中含元素1 的非空子集
即：在集合M的所有非空子集中，元素1出現了2⁹次
同理，在集合M的所有非空子集中，元素2、3、4、5、…、10都出現了2⁹次
故集合M的所有非空子集元素和的和為：
（1+2+3+4+…+10）×2⁹=55×2⁹=28160．
（2）令log₂log₃x=log₃log₂x=t則log₃x=2^t，log₂x=3^t，
∴=，∴t＞0，①
又∵x∈[2，3]，∴log₃x∈[log₃2，1]，故log₃x=2^t≤1，∴t≤0，②，
由①②可知，不存在滿足條件的t，
故原方程無解．
故答案為：0．
分析：（1）由10個元素組成的集合M的子集是指屬于集合的部分或所有元素組成的集合，其中包括空集．欲求集合M的所有子集的元素和的和，先計算出包含元素1的集合：剩下的9個元素組成的集合含有2⁹個子集，包括空集，同理，在集合M的所有非空子集中，元素2、3、4、5、…、10都出現了2⁹次，從而得出集合M的所有非空子集元素和的和．
（2）令log₂log₃x=log₃log₂x=t則log₃x=2^t，log₂x=3^t，兩式相除得=得出t＞0；又x∈[2，3]得到t≤0，兩者矛盾，從而得出原方程無解．
點評：本題主要考查子集與真子集、數列求和、根的存在性及根的個數判斷等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．