Question

已知雙曲線C的中心在坐標原點，漸近線方程是3x±2y=0，左焦點的坐標為(-

13

，0)，A、B為雙曲線C上的兩個動點，滿足

OA

•

OB

=0．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）求

1

| OA |2

+

1

| OB |2

的值；
（Ⅲ）動點P在線段AB上，滿足

OP

•

AB

=0，求證：點P在定圓上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意c= 13 ， b a = 3 2 ，能求出雙曲線C的方程． （Ⅱ）解法一：當過A、B兩點的直線斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，由 y=kx+m x2 4 - y2 9 =1 得(9-4k2)x2-8kmx-4m2-36=0(k≠± 3 2 )，設A（x1，y1），B（x2，y2），由韋達定理知y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2= 9m2-36k2 9-4k2 ．由 OA • OB =0，知- 4m2+36 9-4k2 + 9m2-36k2 9-4k2 =0，由此能導出 1 | OA |2 + 1 | OB |2 = 5 36 為定值；當過A，B兩點的直線斜率不存在時，設直線AB的方程為x=m，則可驗證 1 | OA |2 + 1 | OB |2 = 5 36 為定值． 解法二：設A（rcosθ，rsinθ）、B（kcosα，ksinα），則r=| OA |，k=| OB |，點A在雙曲線上，則r2( cos2θ 4 - sin2θ 9 )=1? 1 r2 = cos2θ 4 - sin2θ 9 ．由 OA • OB =0得cos2α=sin2θ，cos2θ=sin2α，同理， 1 k2 = cos2α 4 - sin2α 9 = sin2θ 4 - cos2θ 9 ．由此得 1 | OA |2 + 1 | OB |2 = 1 r2 + 1 k2 = 1 4 - 1 9 = 5 36 為定值． （Ⅲ）由三角形面積公式，得| OP |×| AB |=| OA |×| OB |，所以| OP |2×| AB |2=| OA |2×| OB |2?| OP |2×(| OA |2+| OB |2)=| OA |2×| OB |2，由此能夠證明點P在定圓上．

解答：解：（Ⅰ）由題意c= 13 ， b a = 3 2 ，則由c2=a2+b2得a=2，b=3 所以雙曲線C的方程為 x2 4 - y2 9 =1…（2分） （Ⅱ）解法一：①當過A、B兩點的直線斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，則 由 y=kx+m x2 4 - y2 9 =1 得(9-4k2)x2-8kmx-4m2-36=0(k≠± 3 2 )…（4分） 設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2= 8km 9-4k2 ，x1x2=- 4m2+36 9-4k2 ∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2= 9m2-36k2 9-4k2 …（5分） 又 OA • OB =0，則x1x2+y1y2=0， 即- 4m2+36 9-4k2 + 9m2-36k2 9-4k2 =0， ∴5m2=36（k2+1） 滿足△=64k2m2+16（m2+9）（9-4k2）=64m2+117＞0…（6分） 設原點O到直線AB的距離為d， 則d= |m| 1+k2 ，又由| OA |2×| OB |2=d2×| AB |2 ∴ 1 | OA |2 + 1 |  OB | 2 = | AB |2 | OA |2| OB |2 = (1+k2)(x1-x2)2 (x12+y12)(x22+y22) = (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] ( 13x12 4 -9)( 13x22 4 -9) = k2+1 m2 ， ∴ 1 | OA |2 + 1 | OB |2 = 5 36 為定值…（8分） ②當過A，B兩點的直線斜率不存在時，設直線AB的方程為x=m，則可驗證 1 | OA |2 + 1 | OB |2 = 5 36 為定值…（10分） 解法二：設A（rcosθ，rsinθ）、B（kcosα，ksinα），則r=| OA |，k=| OB |…（4分） 點A在雙曲線上，則r2( cos2θ 4 - sin2θ 9 )=1? 1 r2 = cos2θ 4 - sin2θ 9 …（6分） 由 OA • OB =0得cos2α=sin2θ，cos2θ=sin2α 同理， 1 k2 = cos2α 4 - sin2α 9 = sin2θ 4 - cos2θ 9 …（8分） 所以 1 | OA |2 + 1 | OB |2 = 1 r2 + 1 k2 = 1 4 - 1 9 = 5 36 為定值…（10分） （Ⅲ）由三角形面積公式，得| OP |×| AB |=| OA |×| OB | 所以| OP |2×| AB |2=| OA |2×| OB |2?| OP |2×(| OA |2+| OB |2)=| OA |2×| OB |2 即| OP |2×( 1 |