Question

設C1、C2、…、Cn、…是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線y＝x相切，對每一個正整數n，圓Cn都與圓Cn＋1相互外切，以rn表示Cn的半徑，已知{rn}為遞增數列．

(1)證明：{rn}為等比數列；

(2)設r1＝1，求數列的前n項和.

 

Answer 1

（1）見解析（2）

【解析】(1)證明：將直線y＝x的傾斜角記為θ，則有tanθ＝，sinθ＝.

設Cn的圓心為(λn，0)，則由題意得＝，得λn＝2rn；同理λn＋1＝2rn＋1，從而λn＋1＝λn＋rn＋rn＋1＝2rn＋1，將λn＝2rn代入，解得rn＋1＝3rn，故{rn}為公比q＝3的等比數列．

(2)【解析】
由于rn＝1，q＝3，故rn＝3n－1，從而＝n×31－n，

記Sn＝＋＋…＋，則有Sn＝1＋2×3－1＋3×3－2＋…＋n×31－n，①

＝1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n＋n×3－n，②

①－②，得＝1＋3－1＋3－2＋…＋31－n－n×3－n＝－n×3－n＝×3－n，

∴Sn＝×31－n＝.