Question

【題目】已知橢圖：的右頂點與拋物線：的焦點重合，橢圓的離心率為，過橢圓的右焦點且垂直于軸的直線截拋物線所得的弦長為.

（1）求橢圓和拋物線的方程；

（2）過點的直線與橢圓交于，兩點，點關于軸的對稱點為.當直線繞點旋轉時，直線是否經過一定點？請判斷并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）是，證明見解析.

【解析】

（1）利用橢圓的頂點與拋物線的焦點坐標相同，橢圓的離心率，列出方程組，求出，，即可得到橢圓方程拋物線方程；

（2）把直線方程與橢圓方程聯立可得根與系數的關系，設，，，，，，求得直線的方程，化簡整理，由直線恒過定點的求法，可得所求定點．

解：（1）設橢圓的半焦距為，依題意，可得，則：，

代入，得，即，所以，

則有，.

所以橢圓的方程為，拋物線的方程為.

（2）依題意，當直線的斜率不為0時，設其方程為，

聯立，得，

設，，則，由，解得或，

且，，

根據橢圓的對稱性可知，若直線過定點，此定點必在軸上，設此定點為，

因斜率，得，即，

即，即，

即，得，

由的任意性可知.

當直線的斜率為0時，直線的方程即為，也經過點，

所以當或時，直線恒過一定點.