Question

已知橢圓：，過點作圓的切線交橢圓于A，B兩點。
（1）求橢圓的焦點坐標和離心率；
（2）求的取值范圍；
（3）將表示為的函數，并求的最大值．

Answer 1

（1）橢圓的焦點坐標為，離心率為；（2）；（3）．當時，，所以的最大值為2．

解析試題分析：（1）由已知及，，關系可得的值，從而得橢圓的焦點坐標．由離心率計算公式可求得橢圓的離心率；（2）過點能作圓的切線，則此點在圓上或圓外，由此可得的取值范圍；（3）先考慮過點所作的圓的切線斜率不存在的情形，即先求和時的長；再考慮時的情形．設切線的方程為，代入橢圓方程消去得關于的一元二次方程：，設兩點的坐標分別為，利用韋達定理可得及的值，代入弦長公式，可得弦長的表達式，利用圓的切線性質消去，得弦長關于的函數，最后利用均值不等式可求得的最大值．
試題解析：（1）由已知可得．所以橢圓的焦點坐標為離心率為；                                 4分
（2）由題意知，，即；                    6分
（3）當時，切線的方程為，點的坐標為，此時．
當時，同理可得                            8分
當時，設切線的方程為，由；
設兩點的坐標分別為，則；    10分
又由與圓                 11分
．
．，且當時，，所以的最大值為2．                                      15分
考點：1．求橢圓離心率；2．圓的切線；．3．直線和橢圓的相交弦長的計算；4．均值不等式的應用．