Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數． 當a，b∈[-1，1]，且a+b≠0時，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立．
（Ⅰ）判斷函f（x）的單調性，并證明；
（Ⅱ）若f（1）=1，且f（x）≤m²-2bm+1對所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）在[-1，1]上為增函數，利用函數的單調性定義，結合a+b≠0時，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立，可證；
（Ⅱ） 根據f（x）在[-1，1]上為增函數，對所有的x∈[-1，1]，b∈[-1，1]，有f（x）≤m²-2bm+1恒成立，應有m²-2bm+1≥f（1）=1⇒m²-2bm≥0．  記g（b）=-2mb+m²，對所有的b∈[-1，1]，g（b）≥0成立，從而只需g（b）在[-1，1]上的最小值不小于零，故可解．

解答：解：（Ⅰ）f（x）在[-1，1]上為增函數
證明：設x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，在

f(a)+f(b)

a+b

＞0中，令a=x₁，b=-x₂，有

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，又∵f（x）是奇函數，
∴f（-x₂）=-f（x₂），∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）在[-1，1]上為增函數…（6分）
（Ⅱ）∵f（1）=1  且f（x ）在[-1，1]上為增函數，對x∈[-1，1]，有f（x）≤f（1）=1．
由題意，對所有的x∈[-1，1]，b∈[-1，1]，有f（x）≤m²-2bm+1恒成立，
應有m²-2bm+1≥1⇒m²-2bm≥0．  記g（b）=-2mb+m²，對所有的b∈[-1，1]，g（b）≥0成立．
只需g（b）在[-1，1]上的最小值不小于零…（8分）
若m＞0時，g（b）=-2mb+m²是減函數，故在[-1，1]上，b=1時有最小值，
且[g（b）]_最小值=g（1）=-2m+m²≥0⇒m≥2；
若m=0時，g（b）=0，這時[g（b）]_最小值=0滿足題設，故m=0適合題意；
若m＜0時，g（b）=-2mb+m²是增函數，故在[-1，1]上，b=-1時有最小值，
且[g（b）]_最小值=g（-1）=2m+m²≥0⇒m≤-2．
綜上可知，符合條件的m的取值范圍是：m∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

點評：本題的考點是函數恒成立問題，以奇函數為依托，證明函數的單調性，考查函數恒成立問題，關鍵是轉換為研究函數的最值．