Question

已知數列的奇數項是首項為1的等差數列，偶數項是首項為2的等比數列.數列 前項和為，且滿足
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列前項和；
（3）在數列中，是否存在連續的三項，按原來的順序成等差數列？若存在，求出所有滿足條件的正整數的值；若不存在，說明理由

Answer 1

（1）；（2；（3）存在，詳見解析．

試題分析：（1）此類問題一般用等差數列和等比數列的基本量根據題目條件布列方程，解之即可，體現的方程的基本思想，解出等差數列和等比數列后，便可寫出數列的通項公式，要注意本題數列的特點，可將其寫成分段的形式；（2））在求出等差數列和等比數列的公差和公比后，求得難度已經不大，但要注意分組求和；（3）此類探究性問題，一般先假設存在符合條件的連續三項，然后通過推理，求出則存在，若得到矛盾，則不存在，存在時還要注意求出所有符合條件的解，注意分類討論思想的應用.
試題解析：（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，
則

又，，解得
∴對于，有
故                      5分
（2）由（1）知，在數列中，前項中所有奇數項的和為，所有偶數項的和為，所以有                 8分
（3）在數列中，僅存在連續的三項，按原來的順序成等差數列，此時正整數的值為1，下面說明理由                                               10分
若，則由，得
化簡得，此式左邊為偶數，右邊為奇數，不可能成立     12分
若，則由，得
化簡得                                                            14分
令，則
因此，，故只有，此時
綜上，在數列中，僅存在連續的三項，按原來的順序成等差數列，此時正整數的值為1                                                           16分