Question

【題目】如圖，已知圓，點是圓內一個定點，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于點.當點在圓上運動時，點的軌跡為橢圓.

（1）分別為橢圓的左右焦點，為橢圓上任意一點，若，求的面積；

（2）如圖，若橢圓，橢圓（，且），則稱橢圓是橢圓的倍相似橢圓.已知是橢圓的倍相似橢圓，若橢圓的任意一條切線交橢圓于兩點、，試求弦長的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1);(2) .

【解析】

(1)根據線段中垂線的性質，可求出的方程為，由橢圓的定義可知，結合已知條件可求出，又，結合余弦定理以及同角三角函數的基本關系可求出，進而可求出三角形的面積.

(2)當切線斜率不存在時，可求出；若斜率存在，設方程為，與聯立可知，即；與聯立，結合韋達定理、弦長公式可求出，從而可求出弦長的取值范圍.

(1)解：由題意知，圓心，半徑，且，

設橢圓的方程為，焦點坐標為，由橢圓的定義可知，，

解得，所以，所以的方程為.

因為為橢圓上任意一點，所以，由，可知

，又因為，由余弦定理知，

，所以，

則的面積為.

(2)由(1)知，的方程為，即.設.

①若切線垂直于軸，其方程為，不妨設為，則 ，解得，

所以此時，；同理對于切線為時，求出.

②若切線不垂直于軸，設其方程為，，整理得

，則，即()；

切線與聯立得，整理得，

所以，則

.

因為，所以，從而.

綜上所述，的取值范圍為.