Question

（2009•閔行區一模）在平面在直角坐標系中，定義

xn+1=yn-xn yn+1=yn+xn

（n∈N^*）為點P_n（x_n，y_n）到點P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一個變換，我們把它稱為點變換．已知P₁（0，1），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），P_n+1（x_n+1，y_n+1）（n∈N^*）是經過點變換得到的一列點．設a_n=|P_nP_n+1|，數列{a_n}的前n項和為S_n，那么S₂₀的值為（　　）

• A．1023+511

  2

• B．

  1023(2+ 2 )

  1024

• C．1023(1+

  2

  )
• D．1023(

  2

  -1)

Answer 1

分析：由題設知p₁（0，1），P₂（1，1），p₃（0，2），P₄（2，2），P₅（0，4），…∴a₁=|p₁P₂|=1，a₂=|p₂P₃|=

2

，a₃=|p₃P₄|=2，a₄=|p₄P₅|=2

2

，…a_n=

2

^n-1，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=

1-( 2 )n

1- 2

，∴故可求S₂₀的值

解答：解：由題設知p₁（0，1），P₂（1，1），p₃（0，2），P₄（2，2），P₅（0，4），…
∴a₁=|p₁P₂|=1，a₂=|p₂P₃|=

2

，a₃=|p₃P₄|=2，a₄=|p₄P₅|=2

2

，…a_n=

2

^n-1，
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=

1-( 2 )n

1- 2

，∴S₂₀=1023(1+

2

)，
故選C

點評：本題考查集合的性質和運算，解題時要注意等比數列前n項和公式的合理運用．