Question

如圖，在△ABC中，AB=2，BC=

2

，∠ABC=

3π

4

．以點B為圓心，線段BC的長為半徑的半圓分別交AB所在直線于點E、F，交線段AC于點D，求弧

CD

的長．（精確到0.01）

Answer 1

分析：方法一：用余弦定理與正弦定理依次求出線段AC的長與角ACB的大小，進而在三角形DBC中求弧

CD

的所對的圓心角的大小，用弧長公式求出弧長．
方法二：建立坐標系，求出線段BD與線段BC所對應的向量的坐標，然后用向量的夾角公式算出角DBC的大小，再用弧長公式求出弧長．

解答：解：
解法一：連接BD，在△ABC中，由余弦定理得
AC²=AB²+BC²-2•AB•BC•cos∠ABC=4+2-4

2

•(-

2

2

)=10
所以AC=

10

．
再由正弦定理得

AC

sin∠ABC

=

AB

sin∠ACB

?sin∠ACB=

2• 2 2

10

=

5

5

在△DBC中，因為BD=BC，故∠DBC=π-2arcsin

5

5

，
所以

CD

=(π-2arcsin

5

5

)•

2

≈3.13．
解法二：如圖，以點B為坐標原點，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，
由條件可得點A的坐標為（-2，0），點C的坐標為（1，1），
故直線AC的方程為y=

1

3

(x+2)，
和圓方程x²+y²=2聯立得

x2+y2=2 y= 1 3 (x+2)

可解得x=-

7

5

和x=1，即得點D的坐標為(-

7

5

，

1

5

)．
于是，得

BD

=(-

7

5

，

1

5

)，

BC

=(1，1)，故向量

BC

和

BD

的夾角∠DBC的余弦值為cos∠DBC=

BC • BD

| BC |•| BD |

=-

3

5

，即∠DBC=π-arccos

3

5

所以，

CD

=(π-arccos

3

5

)•

2

≈3.13．

點評：本題兩種方法，方法一靈活運用解三角形的相關公式求出弧所對的圓心角的大小，些方法運算量較小，但方法的設計作輔助線等的思維量較大．方法二建立坐標系，求出了兩個半徑所在線段對應的向量，方法好想，但轉化為坐標后運算量較大．請答題者做完本題后，對比兩種方法解題的特點．本題中的數據需用把三角數表示，現在的教材已將把三角函數刪除，這是本題設計上的不足之處．