Question

如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD．
（I）求證：AB⊥DE
（Ⅱ）求三棱錐E-ABD的側面積．

Answer 1

分析：（I）要證：AB⊥DE，容易推出AB⊥BD，可證明AB⊥平面EBD即可．
（Ⅱ）求三棱錐E-ABD的側面積，需要求出三個側面三角形的面積即可．

解答：解：（I）證明：在△ABD中，∵AB=2，AD=4，∠DAB=60°
∴BD=

AB2+AD2-2AB•2ADcos∠DAB

=2

3

∴AB²+BD²=AD²，∴AB⊥DB，
又∵平面EBD⊥平面ABD
平面EBD∩平面ABD=BD，AB?平面ABD，∴AB⊥平面EBD，
∵DE?平面EBD，∴AB⊥DE．

（Ⅱ）解：由（I）知AB⊥BD，CD∥AB，∴CD⊥BD，從而DE⊥DB
在Rt△DBE中，∵DB=2

3

，DE=DC=AB=2
∴S△DBE=

1

2

DB•DE=2

3

又∵AB⊥平面EBD，BE?平面EBD，
∴AB⊥BE，
∵BE=BC=AD=4，∴S△ABE=

1

2

AB•BE=4，
∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD∴ED⊥平面ABD
而AD?平面ABD，∴ED⊥AD，∴S△ADE=

1

2

AD•DE=4
綜上，三棱錐E-ABD的側面積，S=8+2

3

點評：本題考查棱錐的側面積，直線和直線的垂直，是中檔題．