Question

以下五個命題中：
①若兩直線平行，則兩直線斜率相等；
②設F₁、F₂為兩個定點，a為正常數，且||PF₁|-|PF₂||=2a，則動點P的軌跡為雙曲線；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④對任意實數k，直線l：kx-y+1-k=0與圓x²+y²-2y-4=0的位置關系是相交；
⑤P為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點，F為它的一個焦點，則以PF為直徑的圓與以長軸為直徑的圓相切．
其中真命題的序號為

③④⑤

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：①根據直線平行和斜率之間的關系分別判斷即可；
②根據雙曲線的定義知②不正確；
③解方程知兩根，一根＞0作雙曲線的離心率，一根＜0作橢圓的離心率，判定③正確；
④將（K+1）x-Ky-1=0轉化為：K（x-y）+x-1=0，從而直線過定點（1，1），再由1²+1²-2×1-2×1-2＜0知點（1，1）在圓的內部得到結論；
⑤利用橢圓的定義，可得以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓內切，從而可得結論．

解答：解：①若兩直線斜率相等，則兩直線平行或重合，故①錯誤；
②設F₁、F₂為兩個定點，a為正常數，且||PF₁|-|PF₂||=2a＜|F₁F₂|，則動點P的軌跡為雙曲線，
故②錯誤；
③方程2x²-5x+2=0的兩根是2和

1

2

，2可作為雙曲線的離心率，

1

2

可作為橢圓的離心率，
故③正確；
④∵kx-y+1-k=0可化為：K（x-1）+（-y+1）=0
∴過定點（1，1）而1²+1²-2×1-4＜0
∴點（1，1）在圓x²+y²-2y-4=0的內部，∴直線與圓相交，
故④正確；
⑤利用橢圓的定義，可得以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓內切
設PF的中點為C，則OC=

2a-PF

2

=a-

PF

2

，
∴以PF為直徑的動圓內切于一個定圓E，圓心為（0，0），半徑為半長軸長，
故⑤正確．
故答案為：③④⑤

點評：本題主要考查直線平行和斜率之間的關系，橢圓與雙曲線的定義和離心率、直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．