Question

設數列{a_n}（n∈N^*）的前n項的和為S_n，滿足a₁=1，-=（n∈N^*）．
（1）求證：S_n=（2-）a_n；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

解：（1）證明：數列{a_n}（n∈N^*）的前n項的和為S_n，滿足a₁=1，-=（n∈N^*）．
所以，
；
；
…
；
將n-1個式子相加可得：，
所以===2-；
∴S_n=（2-）a_n；
（2）因為S_n=（2-）a_n；
所以S_n-1=（2-）a_n-1；（n≥2）
所以a_n=（2-）a_n-（2-）a_n-1；可得，
因為a₂=2，當n=1時，滿足數列{a_n}是等比數列公比為2．
所以a_n=2^n-1．
分析：（1）通過累加法求出的表達式，利用等比數列求出前n項和，推出結果．
（2）通過（1）說明的結果，利用求出S_n-S_n-1=a_n，n≥2，說明數列是等比數列，求出通項公式即可．
點評：本題是中檔題，考查數列的通項公式與數列的前n項和的求法，注意本題的解題的策略與方法，解決數列的常用方法．