Question

如圖，已知雙曲線C₁:，曲線C₂:.P是平面內(nèi)一點(diǎn).若存在過(guò)點(diǎn)P的直線與C₁、C₂都有共同點(diǎn)，則稱P為“C₁-C₂型點(diǎn)”.

（1）在正確證明C₁的左焦點(diǎn)是“C₁-C₂型點(diǎn)”時(shí)，要使用一條過(guò)該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗(yàn)證）；

（2）設(shè)直線y=kx與C₂有公共點(diǎn)，求證＞1，進(jìn)而證明圓點(diǎn)不是“C₁-C₂型點(diǎn)”；

（3）求證：圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C₁-C₂型點(diǎn)”.

Answer 1

【答案】 （1）

【解析】 （1）    顯然，由雙曲線的幾何圖像性質(zhì)可知，過(guò).從曲線圖像上取點(diǎn)P(0,1),則直線。這時(shí)直線方程為

  

（2） 先證明“若直線y=kx與有公共點(diǎn)，則＞1”.

雙曲線

.

.

所以直線y=kx與有公共點(diǎn)，則＞1 . （證畢）

。

所以原點(diǎn)不是“C₁-C₂型點(diǎn)”；（完）

（3）設(shè)直線過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)，則直線斜率不存在時(shí)與曲線無(wú)交點(diǎn)。

設(shè)直線方程為：y = kx + m，則：

假設(shè)直線與曲線相交上方，則