Question

（12分）如圖，三條直線、、兩兩平行，直線、間的距離為，直線、間的距離為，、為直線上的兩個定點，且，是在直線上滑動的長度為的線段.
（1）建立適當的平面直角坐標系，求△的外心的軌跡；
（2）當△的外心在上什么位置時，使最小？最小值是多少？（其中，為外心到直線的距離）

Answer 1

解：（1）以直線b為x軸，以過點A且與b直線垂直的直線為y軸建立平面直角坐標系，則由題意有A(0, p)，設△AMN的外心坐標為C(x, y)，則M(x – p，0)，N(x+p, 0)，
由題意有|CA|="|CM|." ∴
化簡，得x²=2py，它是以原點為頂點、y軸為對稱軸、開口向上的拋物線.    
（2）不難知道，直線c恰為軌跡E的準線，由拋物線的定義知，d=|CF|，其中是拋物線的焦點. ∴d+|BC|=|CF|+|BC|.
由兩點間直線段最短知，線段BF與軌跡E的交點即為所求的使d+|BC|最小的點.
由兩點式方程可求得直線BF的方程為，
把它與x²=2py聯立，得.
故當△AMN外心C為時，d+BC最小. 最小值

略