Question

（2012•四川）函數f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

sinωx-3（ω＞0）在一個周期內的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B、C為圖象與x軸的交點，且△ABC為正三角形．
（Ⅰ）求ω的值及函數f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x₀）=

8 3

5

，且x₀∈（-

10

3

，

2

3

），求f（x₀+1）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將f（x）化簡為f（x）=2

3

sin（ωx+

π

3

），利用正弦函數的周期公式與性質可求ω的值及函數f（x）的值域；
（Ⅱ）由x0∈(-

10

3

，

2

3

)，知

π

4

x₀+

π

3

∈（-

π

2

，

π

2

），由f(x0)=

8 3

5

，可求得即sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

4

5

，利用兩角和的正弦公式即可求得f（x₀+1）．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得，f（x）=3cosωx+

3

sinωx
=2

3

sin（ωx+

π

3

），
又正三角形ABC的高為2

3

，從而BC=4，
∴函數f（x）的周期T=4×2=8，即

2π

ω

=8，ω=

π

4

，
∴數f（x）的值域為[-2

3

，2

3

]…6分
（Ⅱ）∵f（x₀）=

8 3

5

，由（Ⅰ）有f（x₀）=2

3

sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

8 3

5

，
即sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

4

5

，由x0∈(-

10

3

，

2

3

)，知

π

4

x₀+

π

3

∈（-

π

2

，

π

2

），
∴cos（

π

4

x₀+

π

3

）=

1-( 4 5 )2

=

3

5

．
∴f（x₀+1）=2

3

sin（

π

4

x₀+

π

4

+

π

3

）=2

3

sin[（

π

4

x₀+

π

3

）+

π

4

]=2

3

[sin（

π

4

x₀+

π

3

）cos

π

4

+cos（

π

4

x₀+

π

3

）sin

π

4

]
=2

3

（

4

5

×

2

2

+

3

5

×

2

2

）
=

7 6

5

…12分

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，著重考查三角函數的化簡求值與正弦函數的性質，考查分析轉化與運算能力，屬于中檔題．