Question

【題目】已知等腰梯形中（如圖1），，，為線段的中點，、為線段上的點，，現將四邊形沿折起（如圖2）

（1）求證：平面；

（2）在圖2中，若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）先連接，根據線面平行的判定定理，即可證明結論成立；

（2）在圖2中，過點作，垂足為，連接，，證明平面平面，得到點在底面上的投影必落在直線上，記為點在底面上的投影，連接，，得出即是直線與平面所成角，再由題中數據求解，即可得出結果.

（1）連接，因為等腰梯形中（如圖1），，，

所以與平行且相等，即四邊形為平行四邊形；所以；

又為線段的中點，為中點，易得：四邊形也為平行四邊形，所以；

將四邊形沿折起后，平行關系沒有變化，仍有：，且，

所以翻折后四邊形也為平行四邊形；故；

因為平面，平面，

所以平面；

（2）在圖2中，過點作，垂足為，連接，，

因為，，翻折前梯形的高為，

所以，則，；

所以；

又，，

所以，即，所以；

又，且平面，平面，

所以平面；因此，平面平面；

所以點在底面上的投影必落在直線上；

記為點在底面上的投影，連接，，

則平面；

所以即是直線與平面所成角，

因為，所以，

因此，，

故；

因為，

所以，

因此，故，

所以.

即直線與平面所成角的正弦值為.