Question

已知函數f（x）的定義域為[a，b]，其中0＜-a＜b，則F（x）=f（x）-f（-x）的定義域為

 

，若y=log₂（x²-2）的值域為[1，log₂14]，則其定義域為

 

．

Answer 1

分析：要使F（x）=f（x）-f（-x）的解析式有意義，必須滿足x∈[a，b]且-x∈[a，b]，由0＜-a＜b構造不等式組，解不等式組可得答案，而y=log₂（x²-2）的值域為[1，log₂14]表示（x²-2）∈[2，14]，構造不等式組即可求出函數的定義域．

解答：解：∵函數f（x）的定義域為[a，b]，
∴要使F（x）=f（x）-f（-x）的解析有意義
則：

a≤x≤b a≤-x≤b

即

a≤x≤b -b≤x≤-a

又∵0＜-a＜b
則-b＜a＜0＜-a＜b
故不等式的解集為：[a，-a]
即函數F（x）=f（x）-f（-x）的定義為：[a，-a]
∵y=log₂（x²-2）的值域為[1，log₂14]
∴2≤x²-2≤14
解得：[-4，-2]∪[2，4]
故答案為：[a，-a]，[-4，-2]∪[2，4]

點評：求函數的定義域時要注意：（1）當函數是由解析式給出時，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合．（2）當函數是由實際問題給出時，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義，還要有實際意義（如長度、面積必須大于零、人數必須為自然數等）．（3）若一函數解析式是由幾個函數經四則運算得到的，則函數定義域應是同時使這幾個函數有意義的不等式組的解集．若函數定義域為空集，則函數不存在．（4）對于（4）題要注意：①對在同一對應法則f 下的量“x”“x+a”“x-a”所要滿足的范圍是一樣的；②函數g（x）中的自變量是x，所以求g（x）的定義域應求g（x）中的x的范圍．