Question

【題目】證明．
（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：12+22+32+…+n2= ，n是正整數(shù)；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：1+ + +…+ ＜2 （n∈N*）

Answer 1

【答案】
（1）證明：①n=1時(shí)，左邊=12=1，右邊= =1，等式成立，

②假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即12+22+32+…+k2= ，

則n=k+1時(shí)，12+22+32+…+k2+（k+1）2= +（k+1）2

= [2k2+k+6（k+1）]

= （2k2+7k+6）

= = ．

∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立，

由①②得：12+22+32+…+n2= ．

（2）證明：①n=1時(shí)，顯然不等式成立，

②假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即1+ + +…+ ＜2 ．

則當(dāng)n=k+1時(shí)，1+ + +…+ + ＜2 + = ＜ =2 ．

∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立．

由①②得1+ + +…+ ＜2 ．

【解析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟先驗(yàn)證n=1時(shí)結(jié)論成立，再假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，推導(dǎo)n=k+1時(shí)結(jié)論成立即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解數(shù)學(xué)歸納法的定義(數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法)．