Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+3x²-6ax-11，g（x）=3x²+6x+12，和直線m：y=kx+9．又f′（-1）=0．
（1）求a的值；
（2）是否存在k的值，使直線m既是曲線y=f（x）的切線，又是y=f（x）的切線；如果存在，求出k的值；如果不存在，說(shuō)明理由．
（3）如果對(duì)于所有x≥-2的x，都有f（x）≤kx+9≤g（x）成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）第一小問(wèn)較簡(jiǎn)單，只要求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)即可解決；
（2）先觀察條件可得直線m恒過(guò)點(diǎn)（0，9），再利用待定系數(shù)法求出切線的方程即可；
（3）對(duì)于題目中：“f（x）≤kx+9≤g（x）成立”不等式問(wèn)題，通過(guò)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成恒成立問(wèn)題解決．

解答：解：（1）f′（x）=3ax²+6x-6a，
因?yàn)閒′（-1）=0所以a=-2.2；
（2）因?yàn)橹本�m恒過(guò)點(diǎn)（0，9）．
先求直線m是y=f（x）的切線．
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，3x₀²+6x₀+12），
∵g′（x₀）=6x₀+6．
∴切線方程為y-（3x₀²+6x₀+12）=（6x₀+6）（x-x₀），
將點(diǎn)（0，9）代入得x₀=±1．
當(dāng)x₀=-1時(shí)，切線方程為y=9，
當(dāng)x₀=1時(shí)，切線方程為y=12x+9．
由f′（x）=0得-6x²+6x+12=0，即有x=-1，x=2
當(dāng)x=-1時(shí)，y=f（x）的切線y=-18，當(dāng)x=2時(shí)，
y=f（x）的切線方程為y=9∴y=9是公切線，
又由f′（x）=12得-6x²+6x+12=12
∴x=0或x=1，當(dāng)x=0時(shí)y=f（x）的切線為y=12x-11，
當(dāng)x=1時(shí)y=f（x）的切線為y=12x-10，
∴y=12x+9，不是公切線，
綜上所述k=0時(shí)y=9是兩曲線的公切線；（7分）
（3）．（1）kx+9≤g（x）得kx≤3x²+6x+3，
當(dāng)x=0，不等式恒成立，k∈R．
當(dāng)-2≤x＜0時(shí)，不等式為k≥3(x+

1

x

)+6，
而3(x+

1

x

)+6=-3[(-x)+

1

(-x)

]+6≤-3•2+6=0∴k≥0
當(dāng)x＞0時(shí)，不等式為k≤3(x+

1

x

)+6，
∵3(x+

1

x

)+6≥12∴k≤12∴當(dāng)x≥-2時(shí)，
kx+9≤g（x）恒成立，則0≤k≤12；（10分）
（2）由f（x）≤kx+9得kx+9≥-2x³+3x²+12x-11
當(dāng)x=0時(shí)，9≥-11恒成立，k∈R，
當(dāng)-2≤x＜0時(shí)有k≤-2x2+3x+12-

20

x

設(shè)h(x)=-2x2+3x+12-

20

x

=-2(x-

3

4

)2+

105

8

-

20

x

，
當(dāng)-2≤x＜0時(shí)-2(x-

3

4

)2+

105

8

為增函數(shù)，
-

20

x

也為增函數(shù)∴h（x）≥h（-2）=8
∴要使f（x）≤kx+9在-2≤x＜0上恒成立，則k≤8（12分）
由上述過(guò)程只要考慮0≤k≤8，
則當(dāng)x＞0時(shí)f′（x）=-6x²+16x+12=-6（x+1）（x-2）
∴在x∈（0，2]時(shí)f′（x）＞0，在（2，+∞）時(shí)
∴f（x）在x=2時(shí)有極大值即f（x）在（0，+∞）上的最大值，
又f（2）=9，即f（x）≤9而當(dāng)x＞0，k≥0時(shí)，
∴f（x）≤kx+9一定成立，綜上所述0≤k≤8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力，同時(shí)還考查分類討論的思想方法和運(yùn)算求解的能力，綜合性特別強(qiáng)，對(duì)學(xué)生能力要求高，有壓軸題分量．