Question

【題目】設f（x）=|ax﹣1|+|x+2|，（a＞0）．
（Ⅰ）若a=1，時，解不等式 f（x）≤5；
（Ⅱ）若f（x）≥2，求a的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）若a=1，f（x）= ，

由f（x）的單調性及f（﹣3）=f（2）=5，得f（x）≤5 的解集為{x|﹣3≤x≤2}．

（Ⅱ）f（x）= ，

當x∈（﹣∞，﹣2]時，f（x）單調遞減；當x∈[ ，+∞）時，f（x）單調遞增，

又f（x）的圖象連續不斷，所以f（x）≥2，當且僅當f（﹣2）=2a+1≥2，且f（ ）= +2≥2，

求得a≥ ，故a的最小值為

【解析】（Ⅰ）分類討論化簡f（x）的解析式，由f（x）的單調性及f（﹣3）=f（2）=5，得f（x）≤5 的解集．（Ⅱ）由f（x）= 的單調性，以及f（x）的圖象連續不斷，可得要是f（x）≥2，當且僅當f（﹣2）≥2，且f（ ）≥2，由此求得a的最小值．